Question

7．已知$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+7≥0}\\{3x-2y-2≤0}\\{x+y-4≥0}\end{array}\right.$，則z=|$\frac{x}{y+x}$|的取值為[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 作出可行域，變形目標(biāo)函數(shù)可得z=|$\frac{1}{\frac{y}{x}+1}$|，$\frac{y}{x}$表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率，先求$\frac{y}{x}$的范圍，再由不等式的性質(zhì)可得．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+7≥0}\\{3x-2y-2≤0}\\{x+y-4≥0}\end{array}\right.$所對(duì)應(yīng)的可行域（如圖陰影△ABC），
變形目標(biāo)函數(shù)可得z=|$\frac{x}{y+x}$|=|$\frac{1}{\frac{y}{x}+1}$|，$\frac{y}{x}$表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率，
數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，$\frac{y}{x}$取最小值，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，$\frac{y}{x}$取最大值，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y-2=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$可解得A（2，2），故$\frac{y}{x}$取最小值為1，
同理聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$可得B（1，3），故$\frac{y}{x}$取最大值為3，
∴$\frac{y}{x}$∈[1，3]，∴$\frac{y}{x}$+1∈[2，4]，∴$\frac{1}{\frac{y}{x}+1}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，∴|$\frac{1}{\frac{y}{x}+1}$|∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
故答案為：[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單線性規(guī)劃，變形并數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．