Question

2．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個交點，它們之間的距離為6，且對稱軸方程為x=1，與y軸的交點坐標(biāo)為（0，8）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若點P（x，y）是此二次函數(shù)圖象上任意一點，求u=y²+（x-1）²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知與x軸的交點坐標(biāo)為（4，0），（-2，0），c=8，根據(jù)韋達定理即可求出a，b的值，
（2）u=y²+（x-1）²=[（x-1）²-9]²+（x-1）²，令t=（x-1）²，得到f（t）=（t-9）²+t=t²-17t+81=（t-$\frac{17}{2}$）²+$\frac{35}{4}$，繼而求出u的最小值．

解答 解：（1）二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個交點，它們之間的距離為6，且對稱軸方程為x=1，與y軸的交點坐標(biāo)為（0，8）．
∴與x軸的交點坐標(biāo)為（4，0），（-2，0），c=8，
∴4+（-2）=-$\frac{a}$，4×（-2）=$\frac{8}{a}$，
∴a=-1，b=2，
∴f（x）=-x²+2x+8，
（2）點P（x，y）是此二次函數(shù)圖象上任意一點，
∴u=y²+（x-1）²=（-x²+2x+8）²+（x-1）²=[（x-1）²-9]²+（x-1）²，
令t=（x-1）²，
∴f（t）=（t-9）²+t=t²-17t+81=（t-$\frac{17}{2}$）²+$\frac{35}{4}$，
∴當(dāng)t=$\frac{17}{2}$，f（t）有最小值，即為$\frac{35}{4}$，
∴u=y²+（x-1）²的最小值是$\frac{35}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是換元，屬于中檔題．