Question

19．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}}\\{y=\frac{2}{tanα}}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，α≠$\frac{kπ}{2}$，k∈z），M是C₁上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OM}$，點(diǎn)P的軌跡為C₂．
（1）求曲線C₁、C₂的普通方程．
（2）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐際方程是ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，直線l與曲線C₂相交于A、B，求△ABO的面積．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}}\\{y=\frac{2}{tanα}}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，α≠$\frac{kπ}{2}$，k∈z），消去參數(shù)α可得普通方程．設(shè)P（x，y），M（x₀，y₀），利用P點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OM}$，可得x₀=2x，y₀=2y，代入曲線C₁的方程即為點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）直線l的極坐際方程是ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）+$\sqrt{2}$=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立解得A，B，利用S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}}\\{y=\frac{2}{tanα}}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，α≠$\frac{kπ}{2}$，k∈z），消去參數(shù)α可得普通方程：y²=2x．
設(shè)P（x，y），M（x₀，y₀），∵P點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OM}$，∴x₀=2x，y₀=2y，
代入曲線C₁的方程可得：4y²=4x，化為y²=x，即為點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）直線l的極坐際方程是ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）+$\sqrt{2}$=0，化為直角坐標(biāo)方程：y-x+2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-x+2=0}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，化為y²-y-2=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{（1-4）^{2}+（-1-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
原點(diǎn)到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法、拋物線方程、坐標(biāo)變換、三角形面積計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．