Question

18．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）的圖象向右平移φ個單位長度，所得函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)y軸對稱，求φ的最小正值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性，可得-$\frac{3}{2}$φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，由此求得φ的最小正值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，
可得A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$，求得ω=$\frac{3}{2}$，
再根據(jù)五點法作圖可得 $\frac{3}{2}$×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，故f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）將y=f（x）的圖象向右平移φ個單位長度，
可得g（x）=2sin[$\frac{3}{2}$（x-φ）+$\frac{π}{4}$]=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$φ+$\frac{π}{4}$）的圖象，
再根據(jù)所得函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)y軸對稱，可得-$\frac{3}{2}$φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=-$\frac{2k}{3}$π-$\frac{π}{6}$，k∈Z．
求得φ的最小正值為$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性．由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，屬于基礎(chǔ)題．