Question

16．設(shè){a_n}是公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅰ）推導(dǎo){a_n}的前n項和S_n公式；
（Ⅱ）設(shè)q≠1，證明數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$不是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過q是否為1，利用錯位相減法求解數(shù)列{a_n}的前n項和S_n公式；
（Ⅱ）設(shè)q≠1，求出數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的錢3項，利用等比中項，推出矛盾，說明不是等比數(shù)列．

解答 解：設(shè){a_n}的前n項和為S_n，
當(dāng)q=1時，${S_n}={a_1}+{a_1}q+…+{a_1}{q^{n-1}}=n{a_1}$；--------------------（1分）
當(dāng)q≠1時，${S_n}={a_1}+{a_1}q+…+{a_1}{q^{n-1}}$．  ①
$q{S_n}={a_1}q+…+{a_1}{q^{n-1}}+{a_1}{q^n}$，②----------------（3分）
①-②得$（{1-q}）{S_n}={a_1}（{1-{q^n}}）$，所以  ${S_n}=\frac{{{a_1}（{1-{q^n}}）}}{1-q}$．----------（5分）
所以  ${S_n}=\left\{\begin{array}{l}n{a_1}，q=1\\ \frac{{{a_1}（{1-{q^n}}）}}{1-q}，q≠1.\end{array}\right.$----------------------------（7分）
（Ⅱ）證：由{a_n}是公比為q的等比數(shù)列有a₁≠0，若對任意的n∈N⁺，數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是等比數(shù)列，則考慮數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前三項，有${[{\frac{{{a_1}（{1-{q^2}}）}}{1-q}}]^2}=\frac{a_1}{1}•\frac{{{a_1}（{1-{q^3}}）}}{1-q}$，--------------------（9分）
化簡得  q²-2q+1=0，即（q-1）²=0，----------------（10分）
但q≠1時，（q-1）²＞0，
這一矛盾說明數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$不是等比數(shù)列．---------------------（12分）

點評 本題考查數(shù)列求和等比數(shù)列的判斷與證明，考查邏輯推理能力以及計算能力．