Question

6．規(guī)定記號(hào)“*”表示一種運(yùn)算，a*b=a²+ab，設(shè)函數(shù)f（x）=x*2，且關(guān)于x的方程f（x）=ln|x+1|（x≠-1）恰有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=-4．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=x²+2x，可得圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱，由函數(shù)圖象的變換可得函數(shù)y=ln|x+1|（x≠-1）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，進(jìn)而可得四個(gè)根關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，由此可得其和．

解答 解：由題意可得f（x）=x*2=x²+2x，
其圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=-1，
函數(shù)y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1個(gè)單位得到，
而函數(shù)函數(shù)y=ln|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
故函數(shù)y=ln|x+1|的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，
故方程為f（x）=ln|x+1|（x≠-1）四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，x₄，
也關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，不妨設(shè)x₁與x₂對(duì)稱，x₃與x₄對(duì)稱，
必有x₁+x₂=-2，x₃+x₄=-2，
故x₁+x₂+x₃+x₄=-4，
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，由新定義得出函數(shù)解析式并得出兩個(gè)函數(shù)圖象均關(guān)于直線x=-1對(duì)稱是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合比較容易理解．