Question

8．圓心為C的圓經(jīng)過點A（0，2）和點B（2，0），且圓心C在直線l₁：2x-y-4=0上．
（Ⅰ） 求圓C的方程；
（Ⅱ） 求直線l₂：3x+4y-8=0被圓C截得的弦的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根據(jù)圓的性質(zhì)或者利用待定系數(shù)法即可求圓C的方程；
（Ⅱ）根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ） 解法1：AB的中點為（1，1），斜率為-1，則AB的垂直平分線為y=x．…（2分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ 2x-y-4=0\end{array}\right.$，解得圓心C的坐標(biāo)為（4，4）．…（5分）
半徑$r=\sqrt{{{（{4-0}）}^2}+{{（{4-2}）}^2}}=2\sqrt{5}$，所以圓C的方程為（x-4）²+（y-4）²=20．…（7分）
解法2：設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．…（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}4+2E+F=0\\ 4+2D+F=0\\ 2（{-\frac{D}{2}}）-（{-\frac{E}{2}}）-4=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-8\\ E=-8\\ F=12\end{array}\right.$，故所求圓C的方程為x²+y²-8x-8y+12=0．…（7分）
（Ⅱ）圓心到l₂的距離為$d=\frac{{|{3×4+4×4-8}|}}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=4$．…（9分）
所以弦長的一半為$\sqrt{{r^2}-{d^2}}=\sqrt{20-16}=2$，于是直線l₂被圓C截得的弦的長度為4．…（12分）

點評 本題主要考查圓的方程的求解，以及直線和圓相交時弦長公式的計算，考查學(xué)生的運算能力．