Question

6．△ABC是邊長為1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，點A關于平面PBC的對稱點為A′，則異面直線A′C與AB所成角等于（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 設D是BC的中點，A A’與面PBC交于O，推導出A’A=A’B=CA=CB=1，從而得到AB⊥平面A′CE，由此能求出A’C與AB所成角．

解答 解：設D是BC的中點，A A’與面PBC交于O，
∵△ABC是邊長為1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，點A關于平面PBC的對稱點為A′，
∴O必在PD上，AA′⊥平面PBC，
∴∠AOD=∠PAD=90°，∠ODA=∠PDA，
∴△ADO∽△PDA，∴$\frac{AO}{AD}=\frac{PA}{PD}$，
∵AD=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PA=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴PD=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{3}{8}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，AO=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{1}{2}$，AA′=1，
∵又A與A’關于平面PBC對稱，
∴A′B=AB=1，
∵A’A=A’B=CA=CB=1，
取AB中點E，連結A′E，CE，
則A′E⊥AB，CE⊥AE，又A′E∩CE=E，
∴AB⊥平面A′CE，∴A’C⊥AB，
∴A’C與AB所成角為$\frac{π}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．