Question

16．已知函數(shù)$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-mlnx（a，m∈R，m≠0）$．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為2x-y-m=0，求a、m的值；
（2）若m=1且關(guān)于x的不等式f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)切線方程，求解m，a即可．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

解答 解：（1）曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為2x-y-m=0，
函數(shù)$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-mlnx（a，m∈R，m≠0）$．
可得$f'（x）=a+\frac{a}{x^2}-\frac{m}{x}⇒f'（1）=2a-m=2$，
又（1，f（1））=（1，0）⇒2-0-m=0⇒m=2，
解得a=2．
（2）$f'（x）=\frac{{a{x^2}-x+a}}{x}≥0⇒a≥\frac{x}{{1+{x^2}}}$恒成立，
設(shè)函數(shù)$g（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}（x≥2）⇒$函數(shù)g（x）在[2，+∞）是減函數(shù)，
則${g_{max}}（x）=g（2）=\frac{2}{5}$，所以$a≥\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造法的應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．