Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直線(xiàn)l：y=x+2與以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C與直線(xiàn)y=kx（k＞1）在第一象限的交點(diǎn)為A，B（$\sqrt{2}$，1），若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\sqrt{6}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求得圓O的方程，運(yùn)用直線(xiàn)和相切的條件：d=r，求得b，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得交點(diǎn)A的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又圓O的方程為x²+y²=b²，
因?yàn)橹本�(xiàn)l：x-y+2=0與圓O相切，
故有b=$\frac{|2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
由a²=3c²=3（a²-b²），即a²=3．
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；                  
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則y₀=kx₀．
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{2{{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{6}k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}$•$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
∴k=$\sqrt{2}$（k=0舍去）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和直線(xiàn)與圓相切的條件：d=r，同時(shí)考查直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．