Question

9．已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=4．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=0，則可得f（0）=0；再令y=-x，即可證明f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合x＜0時(shí)，f（x）＜0，可得函數(shù)為增函數(shù)，再由f（1）=4，得到f（x）在[-2，2]上有最大值和最小值，得到答案．

解答 解：（Ⅰ）∵對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0），
解得：f（0）=0，
令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）任取兩個自變量x₁，x₂且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
故x∈[-2，2]時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最大值f（2）=f（1）+f（1）=8，
當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取最小值-8．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性與性質(zhì)，是對函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用的綜合考查．