Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），其圖象與y=-1的相鄰兩個交點的距離為$\frac{π}{2}$，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)A，B，C為△ABC的內(nèi)角，若f（A）=0，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出ω的值，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)條件先求出A的值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$（2cos²ωx+1）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-1=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，
由sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1=-1得sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）=0，
∵其圖象與y=-1的相鄰兩個交點的距離為$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，
則ω=1，即f（x）的解析式為f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1；
（Ⅱ）若f（A）=0，則sin（2A-$\frac{π}{6}$）-1=0，
得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1；
則2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即A=kπ+$\frac{π}{3}$，
∵A為△ABC的內(nèi)角，
∴當(dāng)k=0時，A=$\frac{π}{3}$．則0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
則f（B）=sin（2B-$\frac{π}{6}$）-1；
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴0＜2B＜$\frac{4π}{3}$，
則-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
則sin（-$\frac{π}{6}$）＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤sin$\frac{π}{2}$，
即$-\frac{1}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤1，
則-$\frac{3}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）-1≤0，
即f（B）的取值范圍是（-$\frac{3}{2}$，0]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．