Question

19．已知圓M：x²+（y+1）²=1，圓N：x²+（y-1）²=9，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，則C的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（y≠-2）
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠-2）
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 據(jù)兩圓外切和內(nèi)切的判定，圓心距與兩圓半徑和差的關(guān)系，設(shè)出動圓半徑為r，消去r，根據(jù)圓錐曲線的定義，即可求得動圓圓心P的軌跡，進而可求其方程．

解答 解：設(shè)動圓圓心P（x，y），半徑為r，
由題意，圓M：x²+（y+1）²=1與圓N：x²+（y-1）²=9內(nèi)切，∴y≠-2．
∵動圓P與圓M外切，且與圓N內(nèi)切，
∴|PM|=1+r，|PN|=3-r，
∴|PM|+|PN|=4＞2，
∴點P的軌跡是以點M，N為焦點的橢圓，
此時2a=4，2c=2，
即a=2，c=1，b²=3，
∴動圓圓心P的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（y≠-2）．
故選：A．

點評 本題考查兩圓的位置關(guān)系及判定方法和橢圓的定義和標準方程，確定點P的軌跡是以點M，N為焦點的橢圓是關(guān)鍵．