Question

19．巴山市某重點中學“發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美麗”尖峰團隊的記為同學弘揚“砥礪自為”的校訓精神，在周末自覺抵制網絡游戲，發(fā)揮QQ群的正能量作用開展“共探共享”自主研究性學習活動，這是他們以人教A版教學必修一-P82.8題中的函數(shù)：f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$為基本素材，取得的部分研究結果：
①QQ好友”通過鄉(xiāng)下富起來“發(fā)現(xiàn)：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）；
②QQ好友“南江紅葉紅起來”發(fā)現(xiàn)：對于任意a，b∈（-1，1），都有f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$）恒成立；
③QQ好友“巴中二環(huán)通起來”發(fā)現(xiàn)：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
④QQ好友“平昌水鄉(xiāng)美起來”發(fā)現(xiàn)：函數(shù)f（x）只有一個零點；
⑤QQ好友“恩陽機場飛起來”發(fā)現(xiàn)：對于函數(shù)f（x）定義域中任意不同實數(shù)x₁，x₂，總滿足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0．其中所有的正確研究成果的序號是①②④．

Answer 1

分析 由$\frac{1-x}{1+x}$＞0解得-1＜x＜1；
作差法可得f（a）+f（b）-f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=0；
化簡f（x）+f（-x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$=0；
解方程lg$\frac{1-x}{1+x}$=0可得x=0；
可判斷f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$在（-1，1）上是減函數(shù)；從而依次分別判斷即可．

解答 解：由$\frac{1-x}{1+x}$＞0解得-1＜x＜1，故①正確；
f（a）+f（b）-f（$\frac{a+b}{1+ab}$）
=lg$\frac{1-a}{1+a}$+lg$\frac{1-b}{1+b}$-lg$\frac{1-\frac{a+b}{1+ab}}{1+\frac{a+b}{1+ab}}$
=lg（$\frac{1-a}{1+a}$•$\frac{1-b}{1+b}$）-lg$\frac{1-\frac{a+b}{1+ab}}{1+\frac{a+b}{1+ab}}$
=lg$\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}$-lg$\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}$=0，
故②正確；
∵f（x）+f（-x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$=0，
∴f（x）是奇函數(shù)，故③不正確；
令lg$\frac{1-x}{1+x}$=0解得，x=0；故④成立；
∵f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$=lg（-1+$\frac{2}{x+1}$）在（-1，1）上是減函數(shù)，
∴$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．
故⑤不正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質的判斷及應用．