Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在點(diǎn)A（2，f（2））處的切線l的斜率為$\frac{3}{2}$．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的下方（點(diǎn)A除外）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，解方程可得a：
（2）求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，令g（x）=f（x）-（$\frac{3}{2}$x+ln2-1），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極大值，且為最大值，即可得證．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=\frac{1}{x}-a$，
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)A（2，f（2））處的切線斜率為$\frac{3}{2}$，
所以$f'（2）=\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}$-a=$\frac{3}{2}$，
所以a=-1；
（2）證明：因?yàn)閒（x）=lnx+x，所以A（2，ln2+2），
所以l的方程為：$y=\frac{3}{2}x+ln2-1$，
令$g（x）=f（x）-[{\frac{3}{2}x+ln2-1}]=lnx-\frac{1}{2}x-ln2+1$，
則$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$，又因?yàn)閤＞0，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g'（x）＞0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，
可得函數(shù)g（x）在（0，2）單調(diào)遞增，在（2，+∞）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取得最大值g（2）=0，所以g（x）≤0，
所以$f（x）≤\frac{3}{2}x+ln2-1$，
即函數(shù)f（x）的圖象恒在其切線l的下方（切點(diǎn)除外）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用構(gòu)造法，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最大值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．