Question

3．下列4個不等式：
（1）${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx＜${∫}_{0}^{1}$$\root{3}{x}dx$； 
（2）${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$sinxdx＜${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$cosxdx；
（3）${∫}_{0}^{1}$e^-xdx＜${∫}_{0}^{1}$e${\;}^{-{x}^{2}}$dx；    
（4）${∫}_{0}^{2}$sinxdx＜${∫}_{0}^{2}$xdx．
能夠成立的個數(shù)是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用函數(shù)的單調(diào)性、定積分的性質(zhì)即可判斷得出．

解答 解：（1）由于x∈（0，1），∴$\sqrt{x}$$＜\root{3}{x}$，∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx＜${∫}_{0}^{1}$$\root{3}{x}dx$；
（2）∵$x∈[0，\frac{π}{4}]$，∴sinx＜cosx，∴${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$sinxdx＜${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$cosxdx；
（3）∵${e}^{-x}＜{e}^{-{x}^{2}}$，∴${∫}_{0}^{1}$e^-xdx＜${∫}_{0}^{1}$e${\;}^{-{x}^{2}}$dx；
（4）令f（x）=x-sinx，x∈[0，2]，則f′（x）=1-cosx≥0，∴${∫}_{0}^{2}$sinxdx＜${∫}_{0}^{2}$xdx．
綜上可得：正確的命題有4個．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、定積分的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．