Question

16．求證：aⁿ⁺¹+（a+1）^2n-1能被a²+a+1整除，n∈N₊，a∈R．

Answer 1

分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，我們可以先驗(yàn)證①n=1時(shí)命題是否成立；②假設(shè)n=k時(shí)命題成立；③推證n=k+1時(shí)命題成立，得結(jié)論．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a²+（a+1）=a²+a+1可被a²+a+1整除
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，a^k+1+（a+1）^2k-1能被a²+a+1整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，
a^k+2+（a+1）^2k+1=a•a^k+1+（a+1）²（a+1）^2k-1
=a[a^k+1+（a+1）^2k-1]+（a²+a+1）（a+1）^2k-1，
由假設(shè)可知a[a^k+1+（a+1）^2k-1]能被（a²+a+1）整除，
（a²+a+1）（a+1）^2k-1也能被（a²+a+1）整除
∴a^k+2+（a+1）^2k+1能被（a²+a+1）整除，即n=k+1時(shí)命題也成立，
∴對(duì)任意n∈N^*原命題成立．

點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．