Question

10．已知f（x）=x³+ax-2b，如果f（x）的圖象在切點(diǎn)P（1，-2）處的切線與圓（x-2）²+（y+4）²=5相切，那么3a+2b=-7．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程求得切線方程，再由直線和圓相切的條件，化簡(jiǎn)可得a，再由切點(diǎn)滿足f（x），可得b，即可計(jì)算3a+2b．

解答 解：f（x）=x³+ax-2b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+a，
即有在切點(diǎn)P（1，-2）處的切線斜率為3+a，
則在切點(diǎn)P（1，-2）處的切線方程為y+2=（3+a）（x-1），
即為（3+a）x-y-（5+a）=0，
由于切線與圓（x-2）²+（y+4）²=5相切，
則$\frac{|6+2a+4-5-a|}{\sqrt{1+（3+a）^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
化簡(jiǎn)即為（2a+5）²=0，解得a=-$\frac{5}{2}$，
又切點(diǎn)（1，-2）滿足f（x）=x³+ax-2b，
即有-2=1+a-2b，
解得b=$\frac{1}{4}$，
則3a+2b=-$\frac{15}{2}$+$\frac{1}{2}$=-7．
故答案為：-7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系：相切，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．