Question

16．如圖甲，圓O的直徑AB=2，圓上兩點C，D在直徑的兩側，使∠CAB=45°，∠DAB=60°．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點．根據(jù)圖乙解答下列各題：
（Ⅰ）求三棱錐C-BOD的體積；
（Ⅱ）在$\widehat{BD}$上是否存在一點G，使得FG∥平面ACD？若存在，確定點G的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先判斷CO就是點C到平面BOD的距離得到三棱錐的高，利用體積公式求值；
（Ⅱ）存在，G為$\widehat{BD}$的中點．利用線面平行、面面平行的判定定理和性質定理進行證明．

解答 解：（Ⅰ）∵C為圓周上一點，且AB為直徑，∴∠C=90°，∵∠CAB=45°，∴AC=BC，
∵O為AB中點，∴CO⊥AB，∵AB=2，∴CO=1．
∵兩個半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，
∴CO⊥面ABD
∴CO⊥面BOD
∴CO就是點C到平面BOD的距離，…（2分）
在Rt△ABD中，${S_{BOD}}=\frac{1}{2}{S_{ABD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴${V_{C-BOD}}=\frac{1}{3}{S_{BOD}}•CO=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$…（6分）
（Ⅱ）存在，G為$\widehat{BD}$的中點．
證明如下：
連接OG，OF，F(xiàn)G，∴OG⊥BD，
∵AB為圓O的直徑，
∴AD⊥BD
∴OG∥AD，OG?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OG∥平面ACD，…（8分）
在△ABC中，O，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，
∴OF∥AC，OF?平面ACD，
∴OF∥平面ACD，…（10分）
∵OG∩OF=O，
∴平面OFG∥平面ACD，
又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD…（13分）

點評 本題考查了三棱錐的體積公式的運用以及線面平行、面面平行的判定定理和性質定理的運用；熟練運用定理是關鍵．