Question

20．用數(shù)學歸納法證明等式1（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=$\frac{1}{4}$n⁴-$\frac{1}{4}$n²對一切正整數(shù)n都成立．

Answer 1

分析 用數(shù)學歸納法證明問題的步驟是：第一步，驗證當n=n₀時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．關鍵是第二步中要充分用上歸納假設的結論，否則會導致錯誤．

解答 證明：（1）當n=1時，由以上可知等式成立；
（2）假設當n=k時，等式成立，即1（k²-1²）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）=$\frac{1}{4}$k⁴-$\frac{1}{4}$k²，
則當n=k+1時，1[（k+1）²-1²]+2[（k+1）²-2²]+…+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]=$\frac{1}{4}$（k+1）⁴-$\frac{1}{4}$（k+1）²
=1（k²-1²）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=$\frac{1}{4}$k⁴-$\frac{1}{4}$k²+（2k+1）$\frac{k（k+1）}{2}$=$\frac{1}{4}（k+1）^{4}-\frac{1}{4}（k+1）^{2}$．
由（1）（2）知，等式對一切正整數(shù)n都成立．

點評 本題考查數(shù)學歸納法的思想，應用中要注意的是要用上歸納假設．屬于基礎題．