Question

8．某玩具廠生產(chǎn)甲、乙兩種兒童玩具，其質(zhì)量按測(cè)試指示劃分：指示大于或等于85為合格品，小于85為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種玩具個(gè)100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

測(cè)試指示	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100）
玩具甲	8	22	30	32	8
玩具乙	7	18	40	29	6

（1）試分別估計(jì)玩具甲，玩具乙為合格品的概率
（2）生產(chǎn)一件玩具甲，若是合格品可盈利80圓，若是次品則虧損15元，生產(chǎn)一件玩具乙，若是合格品可盈利50圓，若是次品則虧損10元，在（1）的前提下，①記X為生產(chǎn)1件玩具甲和1件玩具乙所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．②求生產(chǎn)5件玩具乙所獲得的利潤(rùn)不少于140元的概率．

Answer 1

分析 （1）利用離散型的概率公式求解得出玩具甲為合格品的概率為$\frac{30+32+8}{100}$；玩具乙為合格品的概率為$\frac{40+29+6}{100}$．
（2）確定①隨機(jī)變量X的所有可能取值為130，70，35，-25．，分別求解相應(yīng)的概率，列出分布列即可求解數(shù)學(xué)期望．
②根據(jù)題意得出生產(chǎn)5件玩具乙中合格品有n件，則次品有5-n件，依題意得50n-10（5-n）≥140，n$≥\frac{19}{6}$，求解不等式即可．

解答 解：（1）玩具甲為合格品的概率為$\frac{30+32+8}{100}$=$\frac{7}{10}$，
玩具乙為合格品的概率為$\frac{40+29+6}{100}$=$\frac{3}{4}$，
（2）①隨機(jī)變量X的所有可能取值為130，70，35，-25．
P（X=130）=$\frac{7}{10}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=70）=$\frac{7}{10}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{40}$，
P（X=35）=$\frac{3}{10}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{40}$，
P（X=-25）=$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{40}$，
所有隨機(jī)變量X的分布列為：

X	130	70	35	-25
P	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{3}{40}$

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為：E（X）=130×$\frac{21}{40}$+70×$\frac{7}{40}$$+35×\frac{9}{40}$$-25×\frac{3}{40}$=86.5，
②設(shè)生產(chǎn)5件玩具乙中合格品有n件，則次品有5-n件，依題意得50n-10（5-n）≥140，n$≥\frac{19}{6}$，
所有n=4，或n=5，
設(shè)“生產(chǎn)5件玩具乙所獲得的利潤(rùn)不少于140元”為事件A，
則P（A）=${C}_{5}^{4}$（$\frac{3}{4}$）⁴×$\frac{1}{4}$+${C}_{5}^{5}$（$\frac{3}{4}$）⁵=$\frac{81}{128}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了綜合運(yùn)用離散型的概率分布知識(shí)求解問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確求解概率，列出分布列，得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，也可以轉(zhuǎn)化為不等式求解，綜合性較強(qiáng)．