Question

11．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線l：y=kx+m（k≠0）．
（1）若點(diǎn)F到直線x+y=3的距離為$\sqrt{2}$，求拋物線的方程；
（2）若直線l與拋物線相切于點(diǎn)P，與x，y軸分別交于點(diǎn)R、Q，求證：$\frac{|PQ|}{|RQ|}$為定值．
（3）若直線l與拋物線相交于點(diǎn)A、B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D（a，0），記m=|AF|+|BF|，證明：a是p和m的等差中項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算即可得到p，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）將直線方程代入拋物線方程，運(yùn)用判別式為0，解得切點(diǎn)P的坐標(biāo)，求得R，Q的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算，即可得到定值；
（3）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合拋物線的定義，化簡(jiǎn)即可得到2a=m+p，即可得證．

解答 （1）解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），
則d=$\frac{|\frac{p}{2}+0-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得p=2或10．
即有拋物線方程為y²=4x或y²=20x；
（2）證明：將直線l：y=kx+m，代入拋物線方程y²=2px，
可得k²x²+2（km-p）x+m²=0，
由判別式為0，可得4（km-p）²-4k²m²=0，
即為p=2km，解得P（$\frac{m}{k}$，2m），
直線l與x，y軸分別交于點(diǎn)R（-$\frac{m}{k}$，0）、Q（0，m），
即有|PQ|=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}+{m}^{2}}$，|RQ|=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}+{m}^{2}}$，
則$\frac{|PQ|}{|RQ|}$為定值1；
（3）證明：將直線l：y=kx+m，代入拋物線方程y²=2px，
可得k²x²+2（km-p）x+m²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{2（p-km）}{{k}^{2}}$，
即有m=|AF|+|BF|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=$\frac{2（p-km）}{{k}^{2}}$+p，
AB的中點(diǎn)為（$\frac{p-km}{{k}^{2}}$，$\frac{p}{k}$），
由兩直線垂直的條件可得，
$\frac{\frac{p}{k}-0}{\frac{p-km}{{k}^{2}}-a}$=-$\frac{1}{k}$，即為a-p=$\frac{p-km}{{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（m-p），
即有2a=m+p，
則a是p和m的等差中項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線方程和直線方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式和韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線垂直的條件：斜率之積為-1，屬于中檔題．