Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，等比數(shù)列{b_n}中，b₁＞0，公比q＞0且q≠1，若a_n-a₁＞log_ab_n-log_ab₁（n＞1，n∈N，a＞0，a≠1），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，討論q＞1，0＜q＜1，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到a的范圍．

解答 解：由a_n=a₁+（n-1）d，b_n=b₁q^n-1，
a_n-a₁＞log_ab_n-log_ab₁，即為
（n-1）d＞log_a$\frac{_{n}}{_{1}}$=log_aq^n-1=（n-1）log_aq，
由n＞1，n∈N，
可得d＞log_aq恒成立，
由于d＞0，則log_aq＜0．
故當(dāng)q＞1時(shí)，a的范圍為（0，1）；
當(dāng)0＜q＜1時(shí)，a的范圍為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)，同時(shí)考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及分類(lèi)討論的思想方法，屬于中檔題．