Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³-x²-ax+b（a，b∈R），當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極值2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，b]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，各個(gè)關(guān)于a，b的方程組，解出即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2x-a，
因?yàn)閤=1時(shí)f（x）取得極值2，
所以$\left\{\begin{array}{l}f（1）=2\\ f′（1）=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-1-a+b=2\\ 3-2-a=0\end{array}\right.$，
解得a=1，b=3，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．                                    
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=3，
f（x）=x³-x²-x+3，
f′（x）=3x²-2x-1，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
又f（0）=3，f（3）=18，而3＜18，
故f（x）在區(qū)間[0，b]上的最大值為f（3）=18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．