Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值為-2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出a=1的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，從而得到極大值和極小值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，并分解因式，對(duì)a討論，分①當(dāng)0＜

1

a

≤1②當(dāng)1＜

1

a

＜e時(shí)③當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，分別求出最小值，并與-2比較，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）a=1，f（x）=x²-3x+lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
又f′(x)=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

當(dāng)x＞1或0＜x＜

1

2

時(shí)f'（x）＞0；當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)f'（x）＜0
所以函數(shù)f（x）的極大值=f(

1

2

)=-

5

4

-ln2，
函數(shù)f（x）的極小值=f（1）=-2．
（2）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=2ax-(a+2)+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

，
令f'（x）=0，則x=

1

2

或x=

1

a

，
①當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
②當(dāng)1＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值是f（

1

a

）＜f（1）=-2，不合題意；
③當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意．
故a的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，求最值，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．