Question

20．?dāng)?shù)列 {a_n}中 a₁=$\frac{1}{2}$，前n項(xiàng)和 S_n=n²a_n-2n（n-1），n∈N^*．
（I）證明數(shù)列 {$\frac{n+1}{n}$S_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè) bn=$\frac{1}{{{n^2}（2n-1）}}$S_n，數(shù)列 {b_n}的前 n項(xiàng)和為 T_n，試證明：T_n＜1•

Answer 1

分析 （Ⅰ）把當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1代入已知的式子化簡(jiǎn)，由條件求出數(shù)列 {$\frac{n+1}{n}$S_n}的首項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出$\frac{n+1}{n}{S}_{n}$，化簡(jiǎn)后代$_{n}=\frac{1}{{n}^{2}（2n-1）}{S}_{n}$化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，即可證明T_n＜1．

解答 證明：（Ⅰ）由題意知，S_n=n²a_n-2n（n-1），n∈N^*．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=n²（S_n-S_n-1）-2n（n-1），
則（n²-1）S_n-n²S_n-1=2n（n-1），
兩邊同除以n（n-1）可得，$\frac{n+1}{n}{S}_{n}$-$\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}$=2，
又a₁=$\frac{1}{2}$，則$\frac{1+1}{1}{S}_{1}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴數(shù)列 {$\frac{n+1}{n}$S_n}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，$\frac{n+1}{n}{S}_{n}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴${S}_{n}=\frac{n（2n-1）}{n+1}$，
∴$_{n}=\frac{1}{{n}^{2}（2n-1）}{S}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}＜1$，
∴T_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，以及利用數(shù)列中通用的公式當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于中檔題．