Question

13．使f（x）=sin（2x+θ）-$\sqrt{3}$cos（2x+θ）為奇函數(shù)，且在[0，$\frac{π}{4}$]上是減函數(shù)的θ的一個(gè)值是（　�。�

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． -$\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為2sin（2x+θ-$\frac{π}{3}$），再根據(jù)它是奇函數(shù)，可得θ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈z．再根據(jù)它在[0，$\frac{π}{4}$]上是減函數(shù)，分類(lèi)討論求得θ的值．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+θ）-$\sqrt{3}$cos（2x+θ）=2sin（2x+θ-$\frac{π}{3}$）為奇函數(shù)，
∴θ-$\frac{π}{3}$=kπ，∴θ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k=2n-1，θ=2nπ-$\frac{2π}{3}$，n∈z，此時(shí)f（x）=-2sin2x，滿(mǎn)足在[0，$\frac{π}{4}$]上是減函數(shù)，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k=2n，θ=2nπ+$\frac{π}{3}$，n∈z，此時(shí)f（x）=2sin2x，不滿(mǎn)足在[0，$\frac{π}{4}$]上是減函數(shù)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式是解題的突破口，屬于中檔題．