Question

15．設(shè)F₁、F₂是雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF₁|=4|PF₂|，則△PF₁F₂的周長(zhǎng)24．

Answer 1

分析 先由雙曲線的方程求出|F₁F₂|=10，再由3|PF₁|=4|PF₂|，運(yùn)用雙曲線的定義，求出|PF₁|=8，|PF₂|=6，由此能求出△PF₁F₂的周長(zhǎng)．

解答 解：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的a=1，c=$\sqrt{1+24}$=5，
兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
即|F₁F₂|=10，
由3|PF₁|=4|PF₂|，設(shè)|PF₂|=x，則|PF₁|=$\frac{4}{3}$x，
由雙曲線的定義知，$\frac{4}{3}$x-x=2，解得x=6．
∴|PF₁|=8，|PF₂|=6，
|F₁F₂|=10，
則△PF₁F₂的周長(zhǎng)為|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=8+6+10=24．
故答案為：24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，考查三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．