Question

3．定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$．
（1）討論f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；
（2）求f（x）在[-1，1]的表達(dá)式；
（3）函數(shù)y=f（x）-a有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$=$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$，利用y=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在（1，2）上單調(diào)遞增，即可得出f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；
（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求f（x）在[-1，1]的表達(dá)式；
（3）函數(shù)y=f（x）-a有零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的值域，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$=$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$，
∵y=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在（0，1）上的單調(diào)遞減；
（2）$當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）=-f（{-x}）=-\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，
f（0）=0，f（-1）=-f（1），f（-1）=f（-1+2）=f（1），
∴f（-1）=f（1）=0，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{2^x}{{{4^x}+1}}，0＜x＜1\\ 0，x=0或x=±1\\-\frac{2^x}{{{4^x}+1}}，-1＜x＜0\end{array}\right.$
（3）$f（x）在（{0，1}）上遞減，取值范圍為（{\frac{2}{5}，\frac{1}{2}}），f（x）在（{-1，0}）上遞減$，取值$范圍為（{-\frac{1}{2}，-\frac{2}{5}}）$，
f（0）=f（1）=f（-1）=0，$故a的范圍為（{\frac{2}{5}，\frac{1}{2}}）∪\left\{0\right\}∪（{-\frac{1}{2}，-\frac{2}{5}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇偶性及函數(shù)單調(diào)性，考查函數(shù)解析式求解，綜合性較強(qiáng)．