Question

12．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=9，直線l經(jīng)過圓C外一點P（2，0）且與圓C交于A，B兩點．
（1）若$|{AB}|=4\sqrt{2}$，求直線l的方程；
（2）求三角形ABC面積的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心到直線的距離為1，再分類討論，即可求直線l的方程；
（2）三角形ABC面積最大時，CA⊥CB，S_△ABC最大值為$\frac{9}{2}$，此時圓心到直線的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即可求出此時直線l的方程．

解答 解：（1）∵圓的半徑為3，$|{AB}|=4\sqrt{2}$，
∴圓心到直線的距離為1，
∴斜率不存在時，x=2滿足題意；
斜率存在時，設(shè)方程為y=k（x=2），即kx-y-2k=0，
∴圓心到直線的距離為$\frac{|k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k=$\frac{15}{8}$，
∴直線l的方程為15x-8y-30=0．
綜上所述，直線l的方程x=2或15x-8y-30=0；
（2）三角形ABC面積最大時，CA⊥CB，S_△ABC最大值為$\frac{9}{2}$，
此時圓心到直線的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{|k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴k=1或-$\frac{23}{7}$，
∴直線l的方程為x-y-2=0或23x+7y-46=0．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．