Question

5．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）在曲線C上求一點D，使它到直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數，t∈R）的距離最短，并求出點D的直角坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先兩邊同乘ρ得ρ²=2ρsinθ，再利用ρ²=x²+y²，ρsinθ=y可得曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）解法一：先消去t可得直線l的普通方程，再設點D的坐標，利用切線的性質，可得與經過圓心且與已知直線垂直的直線方程，再與圓的方程聯(lián)立可得x₀，進而檢驗可得點D的坐標．
解法二：先消去t可得直線l的普通方程，可設點D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π））．可得點D到直線l的距離為d=$2-sin（{φ+\frac{π}{3}}）$．再利用三角函數的單調性與值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），
可得ρ²=2ρsinθ．
∵ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，
∴曲線C的普通方程為x²+y²-2y=0（或x²+（y-1）²=1）．
（Ⅱ）解法一：∵直線的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$（t為參數，t∈R），
消去t得直線l的普通方程為$y=-\sqrt{3}x+5$．
∵曲線C：x²+（y-1）²=1是以G（0，1）為圓心，1為半徑的圓，
設點D（x₀，y₀），且點D到直線l：$y=-\sqrt{3}x+5$的距離最短，
∴曲線C在點D處的切線與直線l：$y=-\sqrt{3}x+5$平行．
即直線GD與l的斜率的乘積等于-1，即$\frac{{{y_0}-1}}{x_0}×（{-\sqrt{3}}）=-1$．
又${x_0}^2+{（{{y_0}-1}）^2}=1$，
聯(lián)立解得${x_0}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或${x_0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴點D的坐標為$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$或$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$．
由于點D到直線$y=-\sqrt{3}x+5$的距離最短，
點D的坐標為$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$．
解法二：直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$（t為參數，t∈R），
消去t得直線l的普通方程為$\sqrt{3}x+y-5=0$．
曲線Cx²+（y-1）²=1是以G（0，1）為圓心，1為半徑的圓，
∵點D在曲線C上，∴可設點D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π））．
∴點D到直線l的距離為$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosφ+sinφ-4}|}}{2}$=$2-sin（{φ+\frac{π}{3}}）$．
∵φ∈[0，2π），∴當$φ=\frac{π}{6}$時，d_min=1．
此時D的坐標為$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、參數方程與普通方程的互化、點的直線的距離公式、直線與圓相切的性質、相互垂直的直線斜率之間的關系、三角函數的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．