Question

13．已知數列{a_n}：滿足：a₁=2，a_n+a_n-1=4n-2（n≥2）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足：b₁+3b₂+7b₃…+（2ⁿ-1）b_n=a_n．求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過計算可得數列的前幾項，即可得到{a_n}為以2為首項，2為公差的等差數列，由等差數列的通項公式即可得到所求；
（2）考慮n=1，可得首項為2，再由n＞1，將n換為n-1，相減即可得到所求通項公式．

解答 解：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n-1=4n-2（n≥2），
∴a₂+a₁=6，a₃+a₂=10，a₄+a₃=14，a₅+a₄=18，a₆+a₅=22，…，
∴a₂=4，a₃=6，a₄=8，a₅=10，a₆=12，…，
∴{a_n}為以2為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=2n；
（2）由b₁+3b₂+7b₃…+（2ⁿ-1）b_n=a_n，
可得n=1時，b₁=a₁=2，
當n＞1時，b₁+3b₂+7b₃…+（2^n-1-1）b_n-1=a_n-1，
兩式相減可得，（2ⁿ-1）b_n=a_n-a_n-1，
由（1）可得，（2ⁿ-1）b_n=2，
即有b_n=$\frac{2}{{2}^{n}-1}$，對n=1同樣成立，
則數列{b_n}的通項公式為b_n=$\frac{2}{{2}^{n}-1}$，n∈N^*．

點評 本題考查數列的通項的求法，考查轉化思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．