Question

3．已知{a_n}是等差數(shù)列，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，a₃+a₄=12．
（1）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅；
（2）設(shè)b_n=10-a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若b₁≠b₂，則n為何值時(shí)，S_n最大？S_n最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，（a₁+d）²=a₁ （a₁+4d），求得d的值，分類當(dāng)d=0及d=2時(shí)，求得a₁，可求得a₁+a₂+a₃+a₄+a₅；
（2）根據(jù)b_n=10-a_n，求得b_n=11-2n，當(dāng)n≤5時(shí)，b_n＞0，當(dāng)n≥6時(shí)，b_n＜0，當(dāng)n=5時(shí)，S_n最大．

解答 （1）設(shè){a_n}的公差為d，∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴（a₁+d）²=a₁ （a₁+4d），∴d=0，或d=2，…（4分）
當(dāng)d=0時(shí)，∵a₃+a₄=12，∴a₁=a₃=6，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=30，…（6分）
當(dāng)d≠0時(shí)，∵a₃+a₄=12，∴a₁=1，d=2，…（8分）
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=25；
（2）∵b₁≠b₂，b_n=10-a_n，∴a₁≠a₂，∴d≠0，
∴b_n=10-a_n=10-（2n-1）=11-2n，…（12分）
當(dāng)n≤5時(shí)，b_n＞0，當(dāng)n≥6時(shí)，b_n＜0，
當(dāng)n=5時(shí)，S_n最大，
S_n最大值是9+7+5+3+1=25…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，過程簡(jiǎn)單，屬于中檔題．