Question

13．在正四面體ABCD中，E是BC邊的中點，則AE與BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 作AO⊥平面BCD，交平面BCD于點O，取BD中點F，以O為原點，OF為x軸，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AE與BD所成角的余弦值．

解答 解：作AO⊥平面BCD，交平面BCD于點O，取BD中點F，
以O為原點，OF為x軸，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，
設正四面體ABCD的棱長為2，則A（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
E（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），D（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
設AE與BD所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
∴AE與BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查異面直線的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．