Question

14．設函數f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0且a≠1）．
（1）設a=10，F（x）=f（x）-g（x），若函數h（x）=F（x）-x一m在[0，$\frac{9}{11}$]上恒有零點，求實數m的取值范圍：
（2）若關下x的方程${a}^{g（-{x}^{2}+x+1）}$=a^f（m）-x有兩個不等實很，求實數m的范圍：
（3）若a＞1且在x∈[0，1]時，f（m-2x）＞$\frac{1}{2}$g（x）恒成立，求實數m的范圍．

Answer 1

分析 （1）判定h（x）是定義域上的減函數，得h（x）是[0，$\frac{9}{11}$]上的減函數；由題意h（0）•h（$\frac{9}{11}$）＜0，從而求出m的取值范圍．
（2）根據指數方程的性質，構造函數，結合一元二次函數根與判別式△之間的關系進行求解即可．
（3）將不等式進行轉化，構造函數結合參數分離法求出函數的最值即可．

解答 解：∵f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$，
∴$\frac{1-x}{1+x}$＞0，即-1＜x＜1；
又f′（x）=$\frac{1+x}{1-x}$×$\frac{1}{ln10}$×$\frac{-（1+x）-（1-x）}{{（1+x）}^{2}}$＜0，
∴f（x）是定義域上的減函數；
∴g（x）=f（x）-x-m在[0，$\frac{9}{11}$]上是減函數；
且g（0）=-m，g（$\frac{9}{11}$）=lg$\frac{1-\frac{9}{11}}{1+\frac{9}{11}}$-$\frac{9}{11}$-m=-1-$\frac{9}{11}$-m=-$\frac{20}{11}$-m；
由題意g（0）•g（$\frac{9}{11}$）＜0，
即（-m）•（-$\frac{20}{11}$-m）＜0，
解得-$\frac{20}{11}$＜m＜0；
∴m的取值范圍是{m|-$\frac{20}{11}$＜m＜0}．
解：（1）a=10，F（x）=f（x）-g（x）=lg（1-x）-lg（1+x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$，
∴$\frac{1-x}{1+x}$＞0，即-1＜x＜1；
又F′（x）=$\frac{1+x}{1-x}$×$\frac{1}{ln10}$×$\frac{-（1+x）-（1-x）}{{（1+x）}^{2}}$＜0，
F（x）是定義域上的減函數；
∴h（x）=f（x）-x-m在[0，$\frac{9}{11}$]上是減函數；
且g（0）=-m，h（$\frac{9}{11}$）=lg$\frac{1-\frac{9}{11}}{1+\frac{9}{11}}$-$\frac{9}{11}$-m=-1-$\frac{9}{11}$-m=-$\frac{20}{11}$-m；
由題意h（0）•h（$\frac{9}{11}$）＜0，
即（-m）•（-$\frac{20}{11}$-m）＜0，
解得-$\frac{20}{11}$＜m＜0；
∴m的取值范圍是{m|-$\frac{20}{11}$＜m＜0}．
（2）g（-x²+x+1）=log_a（-x²+x+2），f（m）=log_a（1-m），
原方程有兩個不等實根即-x²+x+2=1-m，有兩個不等實根，
其中$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x+2＞0}\\{1-m＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜2}\\{m＜1}\end{array}\right.$，
即x²-2x-1-m=0在x∈（-1，2）上有兩個不等實根．
記h（x）=x²-2x-1-m，對稱軸x=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＞0}\\{h（2）＞0}\\{△=4+4（1+m）＞0}\end{array}\right.$，解得-2＜m＜-1；
（3）f（m-2x）=log_a（1-m+2x），
即a＞1且x∈[0，1]時，log_a（1-m+2x）$\frac{1}{2}$log_a（1+x），恒成立，
∴x∈[0，1]有，$\left\{\begin{array}{l}{1-m+2x＞0，①}\\{1-m+2x＞\sqrt{1+x}，②}\end{array}\right.$恒成立，
由①得m＜1； 
令$\sqrt{1+x}$=t，（t∈[1，$\sqrt{2}$]），
∴由②得2t²-t-1＞m在t∈[1，$\sqrt{2}$]時恒成立，
記q（t）=2t²-t-1，
即q（t）_min＞m，∵q（t）_min=q（1）=0＞m，；
綜上m＜0．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，構造函數，利用參數分離法以及函數與方程之間的關系進行轉化是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．