Question

11．已知$\overrightarrow{m}$=（sinωx，-1），$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$cosωx）（其中x∈R，ω＞0），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，且函數(shù)f（x）圖象的某個最高點(diǎn)到其相鄰的最低點(diǎn)之間的距離為5，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（$\frac{3θ}{π}$）=$\frac{6}{5}$（其中θ∈（-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$），則求f（$\frac{6θ}{π}$+1）的取值．

Answer 1

分析 （1）利用$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，求解函數(shù)的周期，得到函數(shù)的解析式，利用子線盒的單調(diào)性求解單調(diào)增區(qū)間．
（2）利用條件求出$sin（{θ+\frac{π}{3}}）=\frac{3}{5}$，得到$cos（θ+\frac{π}{3}）$，通過二倍角公式求解即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）∵$\overrightarrow m=（{sinωx，-1}）$，$\overrightarrow n=（{1，-\sqrt{3}cosωx}）$（其中x∈R，ω＞0），$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，
∴$f（x）=sinωx+\sqrt{3}cosωx=2sin（{ωx+\frac{π}{3}}）$，…（2分）
又∵函數(shù)f（x）圖象的某個最高點(diǎn)到其相鄰的最低點(diǎn)之間的距離為5，
∴$\sqrt{{4^2}+{{（{\frac{T}{2}}）}^2}}=5$，解之得：T=6，…（4分）
又$T=\frac{2π}{ω}$，則$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{3}$，即$f（x）=2sin（{\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}}）$，…（6分）
則$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
即$6k-\frac{5}{2}≤x≤6k+\frac{1}{2}（{k∈Z}）$，
即所求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{6k-\frac{5}{2}，6k+\frac{1}{2}}]（{k∈Z}）$…（8分）
（2）由（1）可知$f（x）=2sin（{\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}}）$，
則$f（{\frac{3θ}{π}}）=2sin（{\frac{π}{3}•\frac{3θ}{π}+\frac{π}{3}}）=2sin（{θ+\frac{π}{3}}）=\frac{6}{5}$，
即$sin（{θ+\frac{π}{3}}）=\frac{3}{5}$…（10分）
∵$θ∈（{-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}}）$，∴$θ+\frac{π}{3}∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，則$cos（{θ+\frac{π}{3}}）＞0$
即$cos（{θ+\frac{π}{3}}）=\sqrt{1-{{sin}^2}（{θ+\frac{π}{3}}）}=\frac{4}{5}$，…（12分）
也即$f（{\frac{6θ}{π}+1}）=2sin[{\frac{π}{3}（{\frac{6θ}{π}+1}）+\frac{π}{3}}]=2sin[{2（{θ+\frac{π}{3}}）}]$=$4sin（{θ+\frac{π}{3}}）cos（{θ+\frac{π}{3}}）=\frac{48}{25}$…（14分）

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，斜率的數(shù)量積的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力．