Question

20．對(duì)于下列四個(gè)命題
p₁：?x∈（0，+∞），（$\frac{1}{2}$）^x＜（$\frac{1}{3}$）^x   
p₂：?x∈（0，1），log${\;}_{\frac{1}{2}}$x＞log${\;}_{\frac{1}{3}}$x
p₃：?x∈（0，+∞），（$\frac{1}{2}$）^x＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$x    
p₄：?x∈（0，$\frac{1}{3}$），（$\frac{1}{2}$）^x＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$x．
其中的真命題是（　�。�

• A． p₁，p₃
• B． p₁，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₂，p₄

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，我們可以判斷p₁的真假，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，我們可以判斷p₂，p₃，p₄的真假，進(jìn)而得到答案

解答 解：p₁：?x₀∈（0，+∞），（$\frac{1}{2}$）^x₀＜（$\frac{1}{3}$）^x₀，是假命題，原因是當(dāng)x₀∈（0，+∞），冪函數(shù)$y={x}^{{x}_{0}}$在第一象限為增函數(shù)；  
p₂：?x₀∈（0，1），log${\;}_{\frac{1}{2}}$x₀＞log${\;}_{\frac{1}{3}}$x₀，是真命題，如$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1＞lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{1}{2}=lo{g}_{3}2$；
p₃：?x∈（0，+∞），（$\frac{1}{2}$）^x＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，是假命題，如x=$\frac{1}{2}$時(shí)，$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}＜lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$；    
p₄：?x∈（0，$\frac{1}{3}$），$\root{3}{\frac{1}{2}}$＜$（\frac{1}{2}）^{x}$＜1，$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞1$，是真命題．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．