A. | f(a2013)>f(a2016) | B. | f(a2014)>f(a2015) | C. | f(a2016)<f(a2015) | D. | f(a2014)<f(a2016) |
分析 先由題意得到f(0)=1=a1,再根據(jù)$f({a_{n+1}})=\frac{1}{{f(\frac{1}{{1+{a_n}}})}}$,得到an+1=-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$,分別求出a1,a2,a3,a4,數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列,再求出a2013=a3=-2,a2014=a1=1,a2015=a2=-$\frac{1}{2}$,a2016=a3=-2,即可比較大小.
解答 解:∵f(x)•f(y)=f(x+y)恒成立,
∴令x=-1,y=0,則f(-1)•f(0)=f(-1),
∵當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,
∴f(-1)≠0,
∴f(0)=1,
∵$f({a_{n+1}})=\frac{1}{{f(\frac{1}{{1+{a_n}}})}}$,
∴f(an+1)f($\frac{1}{1+{a}_{n}}$)=1=f(0)
∴f(an+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$)=f(0)=a1,
∴an+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=0,
即an+1=-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$,
當(dāng)n=1時(shí),a2=-$\frac{1}{2}$,
當(dāng)n=2時(shí),a3=-2,
當(dāng)n=3時(shí),a4=1,
∴數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列,
∴a2013=a3=-2,
a2014=a1=1,
a2015=a2=-$\frac{1}{2}$,
a2016=a3=-2,
故選:B.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用,根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程是解決本題的關(guān)鍵.
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A. | p1,p3 | B. | p1,p4 | C. | p2,p3 | D. | p2,p4 |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | y=2x | B. | y=lgx | C. | y=x2 | D. | y=x3 |
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