Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)是等比數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}對(duì)任意n∈N^*，均有

cn

bn

=a_n+1-a_n成立，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得（1+4d）²=（1+d）（1+13d），從而得到d=2．由此求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1.bn=b2qn-2=3n-1．
（Ⅱ）由

cn

bn

=an+1-an=2，得cn=2bn=2×3n-1，由此利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，
∴a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
∵等差數(shù)列{a_n}第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)是等比數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），d＞0．
解得d=2．…（3分）
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（4分）
又∵b2=a 2=3，a₅=b₃=9，
∴等比數(shù)列{b_n}的公比q=

b3

b2

=3，
∴bn=b2qn-2=3n-1．…（7分）
（Ⅱ）由（1）得

cn

bn

=an+1-an=2，
得cn=2bn=2×3n-1，…（9分）
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄
=2+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹³
=2×

1-32014

1-3

=3²⁰¹⁴-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的能項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．