Question

8．對(duì)于函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$，有下列5個(gè)結(jié)論：
①f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{5}{2}$）+…f（$\frac{1}{2}$+2k）=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$，其中k∈N；
②函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{3}{2}$+2k，$\frac{5}{2}$+2k]（k∈N）
③函數(shù)y=f（x）-ln（x-2）僅有一個(gè)零點(diǎn)；
④?x₁，x₂∈[1，+∞）都有|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{3}{2}$恒成立；
⑤對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≤$\frac{m}{x}$恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（$\frac{5}{4}$，+∞）
其中正確的結(jié)論的序號(hào)為①③④．

Answer 1

分析 ①$f（\frac{1}{2}）$=$sin\frac{π}{2}$=1．k≥1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2），可得：$x=\frac{1}{2}+2k$，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{k}$，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
②x∈$[0，\frac{1}{2}]$時(shí)，函數(shù)f（x）=sinπx也單調(diào)遞增，即可判斷出正誤；
③x＞2，畫(huà)出圖象即可判斷出正誤；
④分類(lèi)討論：?x₁，x₂∈[1，2]，f（x）=sinπx；?x₁，x₂∈（2，+∞），f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）；?x₁∈[1，2]，x₂∈（2，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|-1-$\frac{1}{2}$|=$\frac{3}{2}$．即可判斷出正誤；
⑤對(duì)任意x＞0，?x∈（2k，2k+2），（k∈N）．f（x）_max=$\frac{1}{{2}^{k}}$，$（\frac{k}{x}）_{min}$=$\frac{1}{k+1}$，由于2^k≥k+1，可得f（x）$≤\frac{2}{x}$，即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$．
①$f（\frac{1}{2}）$=$sin\frac{π}{2}$=1．k≥1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2），∴$x=\frac{1}{2}+2k$，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{k}$．∴f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{5}{2}$）+…f（$\frac{1}{2}$+2k）=1+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{k-1}]}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$，其中k∈N，正確；
②x∈$[0，\frac{1}{2}]$時(shí)，函數(shù)f（x）=sinπx也單調(diào)遞增，因此不正確；
③x＞2，如圖所示，函數(shù)y=g（x）=f（x）-ln（x-2），只有一個(gè)零點(diǎn)x=3，因此正確；
④?x₁，x₂∈[1，2]，f（x）=sinπx，|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立；?x₁，x₂∈（2，+∞）都有|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{3}{2}$恒成立；?x₁∈[1，2]，x₂∈（2，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|-1-$\frac{1}{2}$|=$\frac{3}{2}$．綜上可得：?x₁，x₂∈[1，+∞）都有|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{3}{2}$恒成立，因此正確；
⑤對(duì)任意x＞0，?x∈（2k，2k+2），（k∈N）．f（x）_max=$\frac{1}{{2}^{k}}$，$（\frac{k}{x}）_{min}$=$\frac{1}{k+1}$，由于2^k≥k+1（利用二項(xiàng)式定理即可得出），∴f（x）$≤\frac{2}{x}$，不等式f（x）≤$\frac{m}{x}$恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2，+∞），因此不正確．
其中正確的結(jié)論的序號(hào)為 ①③④．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)、分段函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．