Question

19．如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F(xiàn)為CE的中點，
（1）求證：AE∥平面BDF；
（2）求證：平面BDF⊥平面ACE；
（3）2AE=EB，在線段AE上找一點P，使得二面角P-DB-F的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AE∥平面BDF；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面BDF⊥平面ACE；
（3）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）設(shè)AC∩BD=G，連接FG，易知G是AC的中點，
∵F是EC中點．
∴在△ACE中，F(xiàn)G∥AE，…（2分）
∵AE?平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．…（4分）
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴BC⊥平面ABE，又∵AE?平面ABE，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，
∴AE⊥平面BCE，即AE⊥BF，…（6分）
在△BCE中，BE=CB，F(xiàn)為CE的中點，
∴BF⊥CE，AE∩CE=E，
∴BF⊥平面ACE，
又BF?平面BDF，
∴平面BDF⊥平面ACE．…（8分）
（3）如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)AE=1，
則B（2，0，0），D（0，1，2），C（2，0，2），F(xiàn)（1，0，1），
設(shè)P（0，a，0），$\overrightarrow{BD}=（-2，1，2）$，$\overrightarrow{BF}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{PB}=（2，-a，0）$
設(shè)$\overrightarrow{n_1}$⊥面BDF，且$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
則由$\overrightarrow{n_1}$⊥$\overrightarrow{BD}$得-2x₁+y₁+2z₁=0，
由$\overrightarrow{n_1}$⊥$\overrightarrow{BF}$得-x₁+z₁=0，
令z₁=1得x₁=1，y₁=0，從而$\overrightarrow{n_1}=（1，0，1）$…（10分）
設(shè)$\overrightarrow{n_2}$⊥面BDP，且$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，則
由$\overrightarrow{n_2}$⊥$\overrightarrow{BD}$得-2x₂+y₂+2z₂=0，
由$\overrightarrow{n_2}$⊥$\overrightarrow{PB}$得2x₂-ay₂=0，
令y₂=2得x₂=a，z₂=a-1，從而$\overrightarrow{n_2}=（a，2，a-1）$，
$cosθ=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{|a+a-1|}{{\sqrt{2}•\sqrt{{a^2}+4+{{（a-1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
解得a=0或a=1（舍）
即P在E處．…（14分）

點評 本題主要考查空間平行和垂直的位置關(guān)系的判斷，以及二面角的應(yīng)用，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．