Question

9．如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ADE-BCF和一個正四棱錐P-ABCD組合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（1）證明：平面PAD⊥平面ABFE；
（2）當正四棱錐P-ABCD的高為1時，求幾何體E-PAB的體積．

Answer 1

分析 （1）證明：AD⊥平面ABFE，即可證明平面PAD⊥平面ABFE；
（2）利用等體積的方法，求幾何體E-PAB的體積．

解答 （1）證明：直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE，
所以AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以AD⊥平面ABFE，AD?平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABFE．
（2）解：由（1）AD⊥平面ABFE，
取AC中點O，連接PO，則PO為正四棱錐的高，PO=1，
過點P向平面ABEF引垂線，垂足為H，取AB中點M，連接OM，HM，
因為AB=2，則四邊形PHMO為正方形，所以PH=1．
所以${V_{E-PAB}}={V_{P-ABE}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$．
所以，幾何體E-PAB的體積為$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查空間面面垂直的判斷以及幾何體E-PAB的體積的求解，正確利用等體積的方法是關(guān)鍵．