Question

19．已知函數(shù)f（x）=（x-a-1）e^x：
（Ⅰ）若函數(shù)的最小值為-1，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若x₁＞x₂，且有x₁+x₂=2a，求證：f（x₁）＞f（x₂）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的Ⅰ就，求出函數(shù)的最小值，從而求出a的值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x-a-1）e^x-（a-x-1）e^2a-x，x＞a，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）定義域?yàn)?nbsp;R，
因?yàn)閒'（x）=（x-a）e^x，令f'（x）=0，得x=a
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）變化如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以x=a是函數(shù)f（x）極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
所以f（a）=-e^a=-1，解得a=0；
（Ⅱ）證明：由題可知x₁＞a，并且有x₂=2a-x₁，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}-a-1）{e^{x_1}}-（a-{x_1}-1）{e^{2a-{x_1}}}$，
記g（x）=（x-a-1）e^x-（a-x-1）e^2a-xx＞a，g'（x）=（x-a）（e^x-e^2a-x），
當(dāng)x＞a時(shí)，e^x＞e^2a-x，即g'（x）＞0，
所以g（x）在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（a）=0
所以有f（x₁）＞f（x₂），結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．