Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα+sinα}\\{y=2\sqrt{3}sinαcosα-2si{n}^{2}α+2}\end{array}\right.（α為參數(shù)）$，若以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（t為參數(shù)）．
（1）求曲線M和直線N的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線N與曲線M有公共點(diǎn)，求參數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x=$\sqrt{3}$cosα+sinα兩邊平方可得：x²=1+2cos²α+2$\sqrt{3}$sinαcosα，與y相減即可得出．直線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（t為參數(shù)），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化為直角展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，化為y+x=t．
（2）把y=-x+t代入x²-y=1，化為：t=x²+x-1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{5}{4}$，根據(jù)x∈[-2，2]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα+sinα}\\{y=2\sqrt{3}sinαcosα-2si{n}^{2}α+2}\end{array}\right.（α為參數(shù)）$，
由x=$\sqrt{3}$cosα+sinα兩邊平方可得：x²=1+2cos²α+2$\sqrt{3}$sinαcosα，
與y相減可得：則x²-y=1．x∈[-2，2]．
直線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（t為參數(shù)），展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，化為y+x=t．
（2）把y=-x+t代入x²-y=1，化為：x²+x-t-1=0，
t=x²+x-1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{5}{4}$，
∵x∈[-2，2]，
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，t取得最小值$-\frac{5}{4}$．
又t（-2）=1，t（2）=5．
∴t∈$[-\frac{5}{4}，5]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、三角函數(shù)求值、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．