Question

16．已知命題p：?x∈[-1，2]，函數(shù)f（x）=x²-x的值大于0，若p∨q是真命題，則命題q可以是（　�。�

• A． ?x∈（-1，1）使得cosx＜$\frac{1}{2}$
• B． “-3＜m＜0”是“函數(shù)f（x）=x+log₂x+m在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）上有零點(diǎn)”的必要不充分條件
• C． x=$\frac{π}{6}$是曲線f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x的一條對(duì)稱軸
• D． 若x∈（0，2），則在曲線f（x）=e^x（x-2）上任意一點(diǎn)處的切線的斜率不小于-$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 對(duì)于命題p：函數(shù)f（x）=x²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最小值，$f（\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{4}$＜0，因此命題p是假命題．若p∨q是真命題，則命題q必須是真命題．
A．?x∈（-1，1），可得cosx∈（cos1，1]，而cos1＞$cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，即可判斷出真假；
B．函數(shù)f（x）=x+log₂x+m在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）上單調(diào)遞增，若函數(shù)f（x）在此區(qū)間上有零點(diǎn)，則$f（\frac{1}{2}）•f（2）$=$（\frac{1}{2}-1+m）（2+1+m）$＜0，解得m范圍，即可判斷出真假；
C．f（x）=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$，當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，$sin（2×\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）$=1，即可判斷出真假；
D．f′（x）=e^x+e^x（x-2）=e^x（x-1），當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＞f′（0）=-1，幾節(jié)課判斷出真假．

解答 解：對(duì)于命題p：函數(shù)f（x）=x²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，則函數(shù)f（x）在$[-1，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞減；在$（\frac{1}{2}，2]$上單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最小值，$f（\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{4}$＜0，因此命題p是假命題．若p∨q是真命題，則命題q必須是真命題．
A．?x∈（-1，1），cosx∈（cos1，1]，而cos1＞$cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，因此A是假命題；
B．函數(shù)f（x）=x+log₂x+m在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）上單調(diào)遞增，若函數(shù)f（x）在此區(qū)間上有零點(diǎn)，則$f（\frac{1}{2}）•f（2）$=$（\frac{1}{2}-1+m）（2+1+m）$＜0，解得$-3＜m＜\frac{1}{2}$，因此“-3＜m＜0”是“函數(shù)f（x）=x+log₂x+m在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）上有零點(diǎn)”的充分不必要條件，因此是假命題；
C．f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$，當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，$sin（2×\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）$=$sin\frac{π}{2}$=1，因此x=$\frac{π}{6}$是函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸，是真命題；
D．曲線f（x）=e^x（x-2），f′（x）=e^x+e^x（x-2）=e^x（x-1），當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＞f′（0）=-1，因此D是假命題．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷方法、三角函數(shù)的單調(diào)性及其對(duì)稱性、函數(shù)的零點(diǎn)判定方法、函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．