16.已知cos($\frac{π}{4}$+α)=$\frac{3}{5}$,且$\frac{7}{12}$π<α<$\frac{7}{4}$π,求$\frac{sin2α(1+tanα)}{1-tanα}$的值.

分析 由已知得sin($\frac{π}{4}+α$)=-$\frac{4}{5}$,從而sinα+cosα=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$,由cos($\frac{π}{4}+α$)=$\frac{3}{5}$,得cosα-sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$,由此得到cos$α=-\frac{\sqrt{2}}{10}$,sin$α=-\frac{7\sqrt{2}}{10}$,進而能求出$\frac{sin2α(1+tanα)}{1-tanα}$的值.

解答 解:∵$\frac{7}{12}$π<α<$\frac{7}{4}$π,∴$\frac{5π}{3}<\frac{π}{4}+α<2π$,
∵cos($\frac{π}{4}$+α)=$\frac{3}{5}$,∴sin($\frac{π}{4}+α$)=-$\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}$=-$\frac{4}{5}$,
∴sin($\frac{π}{4}$+α)=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(cosα+sinα)=-$\frac{4}{5}$,
∴sinα+cosα=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$,①
cos($\frac{π}{4}+α$)=cos$\frac{π}{4}$cos$α-sin\frac{π}{4}sinα$=$\frac{\sqrt{2}}{2}(cosα-cosβ)$=$\frac{3}{5}$,
∴cosα-sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$,②
聯(lián)立①②,得cos$α=-\frac{\sqrt{2}}{10}$,sin$α=-\frac{7\sqrt{2}}{10}$,
∴sin2α=2sinαcosα=2×$(-\frac{\sqrt{2}}{10})×(-\frac{7\sqrt{2}}{10})$=$\frac{7}{25}$,
tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{-\frac{7\sqrt{2}}{10}}{-\frac{\sqrt{2}}{10}}$=7,
∴$\frac{sin2α(1+tanα)}{1-tanα}$=$\frac{\frac{7}{25}(1+7)}{1-7}$=-$\frac{28}{75}$.

點評 本題考查函數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意三角函數(shù)誘導公式、加法定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運用.

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7.cos$\frac{π}{7}$+$cos\frac{3π}{7}$+cos$\frac{5π}{7}$=$\frac{1}{2}$.

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A.-$\frac{3}{10}$B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$C.$\frac{3}{10}$D.-$\frac{\sqrt{10}}{10}$

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(1)求f(-1)的值.
(2)求當x<0時f(x)的解析式.

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2.已知$f(x)=\left\{\begin{array}{l}(2a-1)x+3a,x≤1\\{log_a}x,x>1\end{array}\right.$是(-∞,+∞)上的減函數(shù),那么a的取值范圍是$[\frac{1}{5},\frac{1}{2})$.

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