Question

20．下列五個命題：
①直線l的斜率k∈[-1，1]，則直線l的傾斜角的范圍是$α∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$；
②直線l：y=kx+1與過A（-1，5），B（4，-2）兩點的線段相交，則k≤-4或$k≥-\frac{3}{4}$；
③如果實數(shù)x，y滿足方程（x-2）²+y²=3，那么$\frac{y}{x}$的最大值為$\sqrt{3}$；
④直線y=kx+1與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共點，則m的取值范圍是m≥1；
⑤方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是$m＜\frac{1}{4}$或m＞1；
正確的是（　�。�

• A． ②③
• B． ③④
• C． ②⑤
• D． ②③⑤

Answer 1

分析 ①直線l的斜率k∈[-1，1]，則直線l的傾斜角α滿足：-1≤tanα≤1，解出即可判斷出．
②直線l經(jīng)過P（0，1），k_PA=-4，k_PB=-$\frac{3}{4}$，由于直線l與線段AB相交，可得k≤-4或$k≥-\frac{3}{4}$，即可判斷出正誤；
③設$\frac{y}{x}$=k，則y=kx，當此直線與圓相切時，$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k=$±\sqrt{3}$，即可得出k的最大值，進而判斷出正誤；
④把直線方程代入橢圓方程可得：（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0，m＞0，m≠5，由直線y=kx+1與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共點，可得△≥0，解得m范圍，即可判斷出正誤；
⑤方程x²+y²+4mx-2y+5m=0配方為：（x+2m）²+（y-1）²=4m²+1-5m，表示圓的充要條件是4m²+1-5m＞0，解得m，即可判斷出正誤．

解答 解：①設直線l的傾斜角為α，直線l的斜率k∈[-1，1]，則-1≤tanα≤1，直線l的傾斜角的范圍是α∈$[0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π）$，因此不正確；
②直線l：y=kx+1與過A（-1，5），B（4，-2）兩點的線段相交，直線l經(jīng)過P（0，1），k_PA=-4，k_PB=-$\frac{3}{4}$，則k≤-4或$k≥-\frac{3}{4}$，正確；
③如果實數(shù)x，y滿足方程（x-2）²+y²=3，設$\frac{y}{x}$=k，則y=kx，當此直線與圓相切時，$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k=$±\sqrt{3}$，因此k的最大值為$\sqrt{3}$，正確；
④把直線方程代入橢圓方程可得：（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0，m＞0，m≠5，由直線y=kx+1與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共點，可得△=100k²-20（1-m）（m+5k²）≥0，解得0＜m≤1，因此不正確；
⑤方程x²+y²+4mx-2y+5m=0配方為：（x+2m）²+（y-1）²=4m²+1-5m，表示圓的充要條件是4m²+1-5m＞0，解得$m＜\frac{1}{4}$或m＞1，因此正確．
綜上可得：正確的是②③⑤．
故選：D．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、直線的斜率、直線與圓錐曲線的位置關系、圓的一般方程與標準方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．