Question

10．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S_n=n²（n∈N^•）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^•），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^•），利用錯位相減法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
 n=1時，a₁=S₁=1符合上式，
 故a_n=2n-1（n∈N⁺）；                   
  （2）∵b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^•），
∴b_n=（2n-1）•2ⁿ，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足：
T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，…①
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹…②
①-②得-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2•$\frac{4-{2}^{n+1}}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計算，根據(jù)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系以及利用錯位相減法進(jìn)行求和是解決本題的關(guān)鍵．