Question

14．如圖，已知點C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于點A，CD是∠ACB的平分線，交AE于點F，交AB于點D．
（I）求證：AE•AF=EF•AB；
（Ⅱ）若BD=2AD，AC=2，求線段CE的長度．

Answer 1

分析 （I）利用圓周角定理可得∠CAE=∠ABC，進而利用相似三角形的性質可得$\frac{CE}{CA}=\frac{AE}{AB}$，又角平分線的性質可得
$\frac{CE}{CA}=\frac{EF}{AF}$，從而解得$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{AF}，即AE•AF=AB•EF$．
（Ⅱ）先求△ACF∽△BCD，利用相似三角形的性質可得$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BD}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，從而可求BC，利用切割線定理即可解得CE的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（I）證明：∵CA為圓O的切線，
∴∠CAE=∠ABC，
則△ACE∽△ACB，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{AE}{AB}$，
∵CF是∠ACB的平分線，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{EF}{AF}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{AF}，即AE•AF=AB•EF$．…（5分）
（Ⅱ）解：∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACF=∠DCB，
∵CA切圓O于點A，
∴∠CAF=∠ABC，
∴△ACF∽△BCD，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BD}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴BC=2AC=4，
∵CA為圓O的切線，
∴CA²=CE•CB，
∴CE=1．…（10分）

點評 本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的性質，角平分線的性質，切割線定理的綜合應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．