Question

20．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)镸，點(diǎn)P（x，y）是平面區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)，則z=2x-y的最大值是2，若直線l：y=k（x+2）上存在區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)，則k的取值范圍是$[\frac{1}{3}，\;1]$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案；再由直線過定點(diǎn)P（-2，0），由兩點(diǎn)求斜率公式求得PB，PC的斜率，可得k的取值范圍．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得B（1，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得C（1，3），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得A（2，2）．
化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z，
由圖可知，當(dāng)直線y=2x-z過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2×2-2=2；
直線l：y=k（x+2）過定點(diǎn)P（-2，0），
∵${k}_{PB}=\frac{1-0}{1-（-2）}=\frac{1}{3}，{k}_{PC}=\frac{3-0}{1-（-2）}=1$，
∴若直線l：y=k（x+2）上存在區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)，則k的取值范圍是[$\frac{1}{3}，1$]．
故答案為：2，$[\frac{1}{3}，\;1]$．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．